今回は極限の定義で大学の専門書とかで使われるε-δ論法について説明したいと思います。

それは高校1年生からのある一通のメールから始まった
「教科書で限りなく近づくが曖昧です。
ε-δ論法がありました。
よろしくお願いします。」

大学生でもε-δ論法わかりにくい言う人多いしな。


簡単にするためまずは数列の極限で説明したいと思います。

lim(n→∞)a_n=α

これが大学の専門書における厳密な定義では

(∀ε＞0)(∃n_0∈N)(∀n∈N)(n≧n_0⇒|a_n-α|＜ε)

となります。

言葉で言うと

任意の正の数εに対して、ある自然数n_0が存在し、n≧n_0となる全ての自然数nに対して
|a_n-α|＜ε
となる時、数列{a_n}はαに収束するって言う意味です。


何がわからないかと言うと、何故こんな定義をしてるのかがわからないのだと思います。

まず任意の正の数εと言うところは、任意と言ってもどこまでも小さく出来るって言うところに意味があります。

どこまでもεを小さくしても、n_0を多くしてnの範囲をn_0≦nと言うように大きい所に絞れば
|a_n-α|＜ε
と出来る。

これが{a_n}がαに収束するって言うことです。

例えばa_n=1/nが0に収束すると言うことは
任意のε＞0に対してn_0=[1/ε]+1とすれば([1/ε]は1/εを越えない最大の整数)
n_0＞1/εになってるわけですが
n≧n_0の時
|1/n-0|=1/n≦1/n_0＜ε
でこれで{a_n}は0に収束すると言えるわけです。


この説明がわからんねん言うとんねん！



ぶほー！！

まあまあ痛いな。



そこで反対のことを考えてみて欲しいねん。

否定をとって収束しない場合を考えるねん。


(∀ε＞0)(∃n_0∈N)(∀n∈N)(n≧n_0⇒|a_n-α|＜ε)

の否定をとれば

(∃ε＞0)(∀n_0∈N)(∃n∈N)(n≧n_0かつ|a_n-α|≧ε)

この否定の意味は

n_0を大きくして、どのようにn≧n_0と言うように大きいところにnの範囲を絞っても
|a_n-α|≧ε
となるnが存在してしまうような、ある正の数εが存在する

ってことです。


確かにいくらnを大きい範囲に絞っても、a_nとαの差がある値より小さくならないものがずっと出てくるならa_nがαに収束するとは言えません。

そうでない場合は収束するって言うとわかりやすいと思います。

たぶんな。


こうやって否定を考えてみると、わかりやすいねん。

たぶんな。

収束しない場合を考えて、そうでないときが収束する場合になると考えるとわかりやすいねん。

たぶんな。


ε-δ論法に戻ると

関数f(x)に対してlim(x→a)f(x)=bをε-δ論法で書けば

(∀ε＞0)(∃δ＞0)(∀x∈R)(|x-a|＜δ⇒|f(x)-b|＜ε)

意味は

任意の正の数εに対して、ある正の数εの存在して
|x-a|＜δとなるすべてのxに対して|f(x)-b|＜ε

です。

これも正の数εをどれだけ小さくしても、δを小さくして|x-a|＜δとxの範囲をaの近く絞れば
|f(x)-b|＜ε
とすることできるって言う解釈で、これをx→aでf(x)はbに収束すると言えるねん。


これがわかりにくいと今度は反対つまり否定を考えてみて、

正の数δを小さくして、どんなに|x-a|＜δと言うようにxの範囲をaの近くに絞っても
|f(x)-b|≧ε
となるxが存在してまうような正の数εが存在してしまうなら収束しない。

この反対であれば収束すると言うとわかりやすいって話やな。

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