最近セイロガンを鼻に詰めないでって感じです。

それでは今回も行列の典型的な一次変換の問題です。
練習問題に使ってやってください。

電気通信大学2009年度昼間コース前期第四問の解説。

[問題]


点P(x,y)を原点Oのまわりに正の向きに角45°だけ回転した点をQ(x',y')とする.f=4(x')^2+2(y')^2とおき,原点Oを中心とする半径1の円をCとする.以下の問いに答えよ.

(i)(x,y)と(x',y')の関係は,行列Aを用いて

(x' y')=A(x y)
と表すことができる.このような行列Aを求めよ.

((x' y')と(x y)は縦ベクトル)

(ii)点P(x,y)がC上を動くとき,fの最大値とそのときの点P(x,y)の座標をすべて求めよ.

(iii)f=(x y)(a b b c)(x y)となる定数a,b,cの値を求めよ.

(右の(x y)は縦ベクトル、
(a b b c)は行列
a b
b c
のこと)

(iv)a,b,cを(iii)で求めた値とし,
B=(a b b c)
とおく.点P(x,y)がC上を動くとき,
g=(x y)(B+kB^2)(x y)
が定数となるような定数kの値と,そのときのgの値を求めよ.

(右の(x y)は縦ベクトル)

[問題]
(1)


OP→を40°回転させたらOQ→だからAは
cos(π/4) -sin(π/4)
sin(π/4) cos(π/4)
です。

回転行列ってやつやな。
まあ
x=rcosθ
y=rsinθ
って極座標をとって行列C(α)=
cosα -sinα
sinα cosα
として
C(α)(rcosθ rsinθ)を計算すると
(rcosθ rsinθは縦ベクトル)

(rcosθcosα-rsinθsinα rcosθsinα+rsinθcosα)
=(rcos(θ+α),rsin(θ+α))

で加法定理から確かにα回転してます。


(ii)


円上にあると極座標であらわすと円上である情報が直接的にあらわれるから、最大値とか考えるときに使いやすいです。

PはC上より
(x,y)=(cosθ,sinθ)(0≦θ＜2π)
とおけて
(x' y')=A(cosθ sinθ)
=(cos(θ+π/4) sin(θ+π/4))

だから
f=4(x')^2+2(y')^2
=4(cos(θ+π/4))^2+2(sin(θ+π/4))^2
=2+2(cos(θ+π/4))^2

だから(cos(θ+π/4))^2=1つまりθ=3π/4,7π/4の時つまりP(x,y)=(-1/√2,1/√2),(1/√2,-1/√2)
の時、最大値4をとる。

何回つまり言うとんねん。


(iii)


ただ単に計算するだけやな。

f=(x y)(a b b c)(x y)
を計算すると
f=ax^2+2bxy+cy^2

今度は
(x' y')=(1/√2 -1/√2 1/√2 1/√2)(x y)
=((x-y)/√2 (x+y)/√2)

で
f=4(x')^2+2(y')^2
=3x^2-2xy+3y^2

だから
ax^2+2bxy+cy^2=3x^2-2xy+3y^2
が恒等的に成り立たなあかんねん。

だから係数を比べて
a=3,2b=-2,c=3
つまりは
a=3,b=-1,c=3


(iv)


PがC上より(x y)=(cosθ sinθ)とおいてもええねんけど、

g=(x y)(B+kB^2)(x y)
これ計算して

g=10k+3-2(6k+1)xy

これがC上のどんな(x,y)に対しても定数にならなあかんってことやねんけど、まあもうちょっと言うなら

g=10k+3-2(6k+1)cosθsinθ
=10k+3-(6k+1)sin2θ
がどんなθに対しても定数になるってことやから、明らかに
6k+1=0
じゃないとあかんことはわかります。


まあそれをどう説明するかやけど、さっきの恒等式の発想から言うと-1≦t≦1に対してdを定数として

-(6k+1)t+10k+3=d

が恒等的に成りたつから

-(6k+1)=0

10k+3=d

より
k=-1/6

d=4/3


か、-1≦t≦1って範囲があっても恒等式の性質を使って係数を比べていいと言うのはtの次数は1次で2個以上の値で成り立つからと言うことを言う必要があるのか自明とするべきかちょっと迷うとこやな。
まあ書いても減点されることはないが、書いてなかったら減点される可能性はあるから書いてたら安全やねんけど。

それか数値代入法を使ってt=0の時,g=10k+3、t=1の時4k+2、常に定数ならばこれらが等しいことが必要だから
10k+3=4k+2
より
k=-1/6
でg=4/3で実際に定数となっているからオッケーと言うことになります。
数値代入で出てきた条件は必要条件やから、もっかい代入して恒等的に成り立ってると書かなあかんのがちょっと注意かな。

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