ちょっと色々な大学の問題も勉強になるように載せていきますわ。

まあ色々なもんが犠牲にはなるねんけどな。


[問題]

関数
f(θ)=∫(0→1)|√(1-x^2)-sinθ|dx
を区間0≦θ≦π/2で考えるとき、以下の問いに答えよ(配点 50)

(i)f(0),f(π/2)の値を求めよ.
(ii)f(θ)を簡単な式で表せ.
(iii)導関数f'(θ)を求めよ.
(iv)関数f(θ)の最大値および最小値を求めよ.
(v)I=∫(0→π/2)f(θ)dθの値を求めよ.

[解答と解説]
(i)


まずは具体的な値を計算してみって感じやな。
被積分関数に絶対値が入った積分ってことで符号で場合わけせなあかんけど、
まずf(0)は単に半径1の円の1/4の部分やからπ/4
f(π/2)は1≧√(1-x^2)なわけやから
|√(1-x^2)-1|=1-√(1-x^2)
で積分すると√(1-x^2)の積分はさっきと同じでπ/4やから
f(π/2)=1-π/4

(ii)



今度は一般的にf(θ)を求めよってことでこの積分はx=cosαと置換して
dx=-sinαdα
x | 0  |…|1|
α|π/2|…|0|
で√(1-(cosα)^2)=√(sinα)^2=|sinα|
やからsinαの符号が問題になるけど0≦α≦π/2では
sinα≧0
で
|√(1-(cosα)^2)-sinθ|=|sinα-sinθ|
だから今度はsinαとsinθの大小関係が問題になります。

これは

0≦α≦θの時
sinα-sinθ≦0
θ≦α≦π/2の時
sinα-sinθ≧0

だからこの区間で積分を分けて計算したらよくて

f(θ)=∫(π/2→0)|sinα-sinθ|(-sinα)dα
=∫(0→π/2)|sinα-sinθ|sinαdα
=∫(0→θ)(sinθ-sinα)sinαdα
+∫(θ→π/2)sinα-sinθ|sinαdα

後はもうしんどいから
(sinα)^2=(1-cos2α)/2
を使って
∫(sinα)^2dα=∫(1-cos2α)/2dα
=α/2-sin2α/4+C

を使って計算したってくれ。
まあ(sinα)^2って計算すること多いからこの結果を覚えてたら、計算が速くなって間違いも少なくなって便利かな。


答えは
-sinθcosθ-θ+sinθ+π/4
または2倍角であらわしたら
-(sin2θ)/2-θ+sinθ+π/4



(iii)
微分は特に問題ないと思います
f'(θ)=-cos2θ-1+cosθ
=-(2(cosθ)^2-1)-1+cosθ
=-2cosθ(cosθ-1/2)

(iv)は(iii)から増減表がかけて
最小値はθ=π/3の時で-π/12+(√3)/4

ですぐにわかって、最大値はx=0の時のπ/4かx=π/2の時の1-π/4かどっちかやけど
(1-π/4)-π/4=1-π/2＜1-3/2=-1/2＜0
だから
1-π/4＜π/4
で最大値ははx=0の時のπ/4です。

(v)単純に計算したら終わりやけど、それ以上でもそれ以下でもないと言うか本当にこれでいいのかと言う問題もありますが…

もうええからはよ説明せい！

ちょっと書いたら終わりやろ。

積分するときは2倍角であらわしたらよくて

I=∫(0→π/2)(-(sin2θ)/2-θ+sinθ+π/4)dθ
=[(cos2θ)/4-(θ^2)/2-cosθ+πθ/4](0→π/2)
=1/2

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