ホワイトデーってことで数学をどてらします。

それどこの方言やねん。


東京大学2009年度文系第1問の解説です。

[問題]

座標平面において原点を中心とする半径2の円をC_1とし、点(1,0)を中心とする半径1の円をC_2とする。また、点(a,b)を中心とする半径tの円C_3が,C_1に内接し、かつC_2に外接すると仮定する。たえだし、bは正の定数とする。

(1)a,bをtを用いて表せ。また,tがとり得る値の範囲を求めよ。

(2)tが(1)で求めた範囲を動くときbの最大値を求めよ。



[解答と解説]
(1)


外接するとか、内接するとか二円の関係は

半径がr_1,r_2の2つの円の中心の間の距離をdとすると

(i)外接するときは
d=r_1+r_2

(ii)内接するときは
d=|r_1-r_2|

になります。
図形的に考えてください。

この内接と外接するとき以外の範囲を考えタラ

交わらない時は

d＞r_1+r_2

2点で交わる時は

|r_1-r_2|＜d＜r_1+r_2

内側にある時は

d＜|r_1-r_2|

って分かるのもチェックしてください。




さっそく式を立てていくと
半径t,中心(a,b)のC_3が半径2,中心(0,0)のC_1に内接するから、二つの円の距離は
√(a^2+b^2)より

√(a^2+b^2)=2-t
(0＜t＜2)

です。
さっきの説明では|2-t|になるかもしれませんが、C_3がC_1に内接するって条件があるからC_3の方が小さくて0＜t＜2で二円の中心の距離が2-tってなります。

もう少し整理して
a^2+b^2=(2-t)^2
⇔
a^2+b^2=t^2-4t+4

かつ0＜t＜2です。


無理式を二乗するときは

√A=B
⇔
A=B^2かつB≧0

に注意しなければなりませんが、0＜t＜2だからその辺は大丈夫です。

半径t,中心(a,b)のC_3が半径1,中心(1,0)のC_2に外接するから、二つの円の距離は
√((a-1)^2+b^2)より

√((a-1)^2+b^2)=1+t

でも二乗して整理して

(a-1)^2+b^2=t^2+2t+1

でこれも1+tは元々正なので二乗しても大丈夫です。


整理すると

a^2+b^2=t^2-4t+4…①
(a-1)^2+b^2=t^2+2t+1…②
0＜t＜2
0＜b

です。

①-②:
2a-1=-6t+3
⇔
a=2-3t

だから

a^2+b^2=t^2-4t+4…①
(a-1)^2+b^2=t^2+2t+1…②
0＜t＜2
0＜b

⇔

b^2=t^2-4t+4-(2-3t)^2
a=2-3t
0＜t＜2
b＞0



⇔
b^2=8t(1-t)
a=2-3t
0＜t＜2
b＞0

b＞0だからb^2=8t(1-t)よりb=√(8t(1-t))でt(1-t)＞0⇔0＜t＜1だから

b^2=8t(1-t)
a=2-3t
0＜t＜2
b＞0

⇔

b=√(8t(1-t))
a=2-3t
0＜t＜1

こうやって処理がややこしい東大では思いつくままにうへ～って方程式を解いていってわけわからんことなるより、数式を全部書いて同値変形を意識すると条件を見落としにくいって言うのも一つの手として覚えていてください。

不等式も全部tを用いて表していく方針です。

(2)
これはさすがに普通の二次関数の最大値の問題で、おまけみたいなもんですね。

b=√8t(1-t)
=√(-8t^2+8t)
=√(-8(t-1/2)^2+2)
(0＜t＜1)
より最大値はt=1/2の時√2



同値変形のとこでもう一つ例を出すと

例えばp+q-3pq=0でp+q=a,pq=bでp,qがすべての正の実数を動く時,(a,b)の領域を求めよって問題では

p+q-3pq=0
p+q=a
pq=b
p＞0.q＞0

って全部式を書いて

⇔
a-3b=0
p+q=a
pq=b
p＞0,q＞0

でこの
p+q=a
pq=b
p＞0,q＞0
のとこは
t^2-at+b=0
が正の解を持つような(a,b)の範囲であればp,qはa,bによって自動的に決まるから、それを求めればよくて

f(t)=t^2-at+bとおいて

判別式a^2-4b≧0
軸a/2＞0
f(0)＞0

⇔

0＜b≦a^2/4
a＞0

だから

a-3b=0
p+q=a
pq=b
p＞0,q＞0

⇔

b=a/3
0＜b≦a^2/4
a＞0
(p,q)=((a+√(a^2-4bc))/2,(a-√(a^2-4bc))/2)
または((a-√(a^2-4bc))/2,(a+√(a^2-4bc))/2)

ってやります。

まあ(p,q)の値は書かなくていいんですが、思いつくままに解くよりこうやって全部式を書いてa,bであらわそうとしていく同値変形を考えるのがコツです。

こういうのよく東大で出題されるので気をつけて下さい。

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