2009年度前期
○整数問題、一橋大学2009年度第1問の解説
○積分の問題、一橋大学2009年度第2問の解説
○円と放物線の問題、一橋大学2009年度第3問の解説
○ベクトルの問題、一橋大学2009年度第4問の解説
○確率の問題、一橋大学2009年度第5問の解説



2008年度前期
○整数問題と不等式の問題、一橋大学2008年度前期数学の第1問の解説
○3次方程式の解の問題、一橋大学2008年度前期の数学第2問
○領域の問題、一橋大学2008年度前期の第3問
○正四面体の辺上の三角形の最小値、一橋大学2008年度前期数学の第4問の解説
○確率の最大値、不等式の問題、一橋大学2008年度前期の第5問の解説

ぐふっ。
だいぶんおかしなってきたとこで、一橋大学2008年度前期数学第5問、確率の問題いきます。

これ時間内に出来たやつおるんか？思うけどな。

途中で心が折れそうになったもん。


[問題]

nを3以上の整数とする。2n枚のカードがあり、そのうち赤いカードの枚数は6、白いカードの枚数は2n-6である。これら2n枚のカードを、箱Aと箱Bにn枚ずつ無作為に入れる。2つの箱の少なくとも一方に赤いカードがちょうどk枚入ってる確率をpkとする。

(1)p2をnの式で表せ。さらに、p2を最大にするnをすべて求めよ。

(2)p1+p2＜p0+p3をみたすnをすべて求めよ。

[解答と解説]
まずは2n枚のカードを箱A,Bに入れる方法は全部で2nCn通りと求めおきます。
(1)

Aが赤2,白n-2
とすると
Bが赤4,白n-4
になりますが、n=3ではマイナスになるから場合分けします。

n=3の時、全部赤だから
A赤3枚、B赤3枚になって少なくとも一方が2枚になることはない。
だからp2=0。

n≧4の時

Aが赤2,白n-2
とすると
Bが赤4,白n-4

になるのは赤6枚から2枚選んで6C2、白を2n-6枚からn-2枚選んで2n-6Cn-2
で、

Bが赤2,白n-2
とすると
Aが赤4,白n-4

も同じ選び方は同じだから確率は

p2=2・6C2・2n-6Cn-2/2nCn



これをぶーわー計算して分母分子の同じのを約分していくと

{15n(n-1)(n-3)}/{4(2n-1)(2n-3)(2n-5)}

となります。
それでこれは、n=3で0になるからn≧3でも成立することになります。

そしてこれを
a_n={15n(n-1)(n-3)}/{4(2n-1)(2n-3)(2n-5})
とおいておきます。
最大値の求め方ですが、nの式の最大値は
a_(n+1)-a_n
を求めますが、これでは式が多くなりすぎてしんどいです。

こういうやたらに因数が多い式の時は
a_(n+1)/a_n
が1より大きいか同じか小さいかを計算すると、共通因子は約分されるので便利です。

覚えておいてください。

a_(n+1)/a_n={(2n-5)(n+1)(n-2)}/{(2n+1)(n-1)(n-3)}

ここまで計算しておいて分子と分母の大きさを比べます。



だから
(2n-5)(n+1)(n-2)-(2n+1)(n-1)(n-3)
を計算するわけですが、なんかほんまにこんな式になってしまってて大丈夫か？思いますがとりあえず根性で計算します。

するとなんと

-n+7

になります。

だからn=7が分かれ目ですが、n＞3の時、分母は
(2n+1)(n-1)(n-3)＞0
だから

n≧8の時

(2n-5)(n+1)(n-2)-(2n+1)(n-1)(n-3)＜0
⇔
{(2n-5)(n+1)(n-2)}/{(2n+1)(n-1)(n-3)}＜1
だから
a_(n+1)/a_n＜1
⇔
a_(n+1)＜a_n
になります。

n=7では
a_8=a_7
です。

n≦6では

a_(n+1)＞a_n
です。

よって

0=a_3＜a_4＜a_5＜a_6＜a_7=a_8＞a_9＞a_10＞…

で最大値はn=7,8の時とわかります。

(2)

6の半分は3だから、どう分けてもA,Bの少なくとも一方は必ず3以下になります。
だから0～3枚以下までの事象しかないから
p0+p1+p2+p3=1
です。

これに気づかないと、若干きついです。

よって

p0+p3=1-p1-p2
だから

p1+p2＜p0+p3
⇔
p1+p2＜1-p1-p2
⇔
p1+p2＜1/2

こうなるnを求めればいいわけです。

だから後はp1を求めたらオッケーです。

まあp0、p3もそんなには求めるのに時間かからんと言えばかからない気がしますが、(1)で既に計算がしんどかったのでその辺の感覚がマヒしてしまってます。


と言うことで少なくとも一方が赤1枚になるには
A赤1白n-1
B赤5白n-5
または
B赤1白n-1
A赤5白n-5
ですが、n≦4ではn-5がマイナスになるから無理でp1=0です。


n≧5では
A赤1白n-1
B赤5白n-5
または
B赤1白n-1
A赤5白n-5
はどちらも(1)と同様に6C1・2n-6Cn-1通りだから
p1=2・6C1・2n-6Cn-1/2nCn
でこれをまた根性で計算して

{3n(n-3)(n-4)}/{2(2n-1)(2n-3)(2n-5)}

で、これもn=3,4を入れると0になるから
n≧3で成り立ちます。



それで
p1+p2＜1/2
に戻って、これに
p1={3n(n-3)(n-4)}/{2(2n-1)(2n-3)(2n-5)}
p2={15n(n-1)(n-3)}/{4(2n-1)(2n-3)(2n-5)}
を代入します。

ほんまに代入します。

ほんまに入試中に代入するやつがおるんかわからんけど、代入します。

n≧3より
(2n-1)(2n-3)(2n-5)
ではらって整理します。

すると
3n(n-1)(7n-13)＜2(2n-1)(2n-3)(2n-5)
とかふざけた式がでます。

が、しかし負けずに計算してください。

オレも一緒に計算したるから。


そしたら
n^3-6n^2+5n+6＜0
とか、何か心が温まる式がでます。

これは因数分解できそうですが、n-2で因数分解できます。

(n-2)(n^2-4n-3)＜0

n≧3だからn-2＞0なので割れます。

n^2-4n-3＜0

⇔

2-√7＜n＜2+√7

2＜√7＜3
なので、
2-√7＜n＜2+√7
を満たすn≧3の値は
n=3,4だけです。

これでやっと求まりました。



この問題は定石も多く使ってて結構学ぶべき点も多いんですが、計算してると途中で血吐いて倒れて隔離されるのが欠点です。

一橋大学の入試の数学の過去問の解説

高校数学の入試問題などの解説

今回は数学の勉強法の解き方をノートに写すの説明のところで、どんなノートにどう書けばいいのかを説明します。


○無地のノートかルーズリーフがベスト


理由1,

京都大学理学部での数学の専門科目の授業に出てるとき、多くの学生が罫線もドットも何もない無地のノートを使っていた。


理由2,

数学の式は∫や∑、ベクトルなど枠に収まらない記号、小さい文字、大きい文字が混ざっていてしかも図を書かなければなりません。
罫線があると邪魔になります。


理由3,

無地だと見返したときに文字がくっきり見えて非常にわかりやすい。
罫線やドットがあると、特に字が薄い人は文字が溶け込んでしまい印象が薄くなる。


理由4,

数学の試験の解答用紙は、罫線もドットも何も無くて普段から解答作成の練習になる。


理由5,

何より数式や図がカッコよく見える！
傍から見てもカッコいいし、自分で見ても惚れ惚れする。





お勧めはKOKUYOの無地のルーズリーフかノートです。
KOKUYOのは書き心地がとても良く、紙も薄くないので裏の文字が透けないから見直す時に文字が見やすいです。


○シャーペン、ボールペンより鉛筆

理由1,
一見合理的なシャーペンやボールペンの方がたくさん速く書けて良さそうですが、鉛筆を使って太くなってきたら削るって言う非合理的な作業によって多少なりとも記憶しやすくなります。
例えば歌詞を書いた紙だけ見せられて歌詞を覚えろって言われるより、歌わされた方が断然記憶しやすいですよね。

理由2,
シャーペンで書くと特に筆圧が高い人は、ガー！って跡がいって消しゴムで消しても跡が残ります。
これではカッコよく見えません。


○カッコよく書くのがコツ

最初の方にも書きましたが、何よりも一番大切なのはカッコよく書くことです。
例えば、ドラマとか映画の会議のシーンで数式が書かれたホワイトボードとか出てきたりしますが、あれはカッコいいと思いませんか？

憧れたりしませんでしたか？


しないと言われたら困りますが、そのカッコいいって感じるのが一番大切です。

あれがホワイトボードとかに罫線があったら、かなりカッコ悪いでしょう。


そういう風に数学の解答は非常にカッコがいい。

例として書いてみました。





こうやって、何か知らんけどカッコいいから写す。
意味はわからんけど解答をカッコよくノートに写す。

文字は汚くても大丈夫です。
綺麗に書く越したことないけど時間がかかりすぎたら意味がないし、少し乱暴な方がむしろカッコいいくらいです。

それよりもレイアウトが大切です。


それでそのカッコいいノートを妹とかに見せて、お兄ちゃん凄いとか言われたら完璧です。

何か知らんけど、カッコいいから写してると解答を勝手に覚えてたりします。


そうやって解答をたくさん覚えてしまうと、意味はわからないけど問題は解ける状態になってある問題と問題が繋がって体系的に理解されたりします。

反対に言うと、一つ一つ理解してやろうとすると全くページが進まず数学はいつまでも進みません。
ページを進めても、また最初の方忘れたって戻ってきて進みません。


そうでなくて解答、定理や定義などをカッコよくどんどん写していってください。

勉強法