人形を股に挟んでお茶を飲む時期になりました。




1+2+3+…+n=n(n+1)/2
には台形面積や、平均値(1+n)/nがn個あるなどのわかりやすい直感的なイメージがあります。

このような直感的なイメージがあると、公式を気持ちよく使えて、わかった！という感じがします。

そしたら平方数の和
1^2+2^2+3^2+…+=1/6n(n+1)(2n+1)
の公式にはどう捉えると直感的に理解出来るか？
小学生の算数的なイメージで解説しました

ちょっとFF13にはまりすぎて、久しぶりに数学の記事を書くことにするか。


今回は確率の期待値の計算の仕方について、根元事象で計算すると上手くいく場合があるのを一緒にお勉強したい思います。


問題は立教大学2008年からの出題です。


[問題]


袋の中に、赤2個、白3個のさいころが入っている。この袋の中からさいころを取り出して投げ、出た目を調べる。赤いさいころのときは出た目を2倍したものを得点とし、白いさいころのときは出た目がそのまま得点であるとする。このとき、次の(i)～(iv)に答えよ。

(i)1個を取り出して投げるとき、そのさいころが赤で、出た目が1または2である確率を求めよ。

(ii)1個を取り出して投げるとき、得点の期待値を求めよ。

(iii)同時に2個のさいころを取り出すとき、2個のさいころが、ともに赤である確率p,赤と白である確率q,ともに白である確率rをそれぞれ求めよ。

(iv)同時に2個のさいころを取り出して投げるとき、得点の和の期待値を求めよ。



[解答と解説]
(i)


まず赤の目を取り出す確率が2/5

その取り出したさいころを振って出た目が1または2になる確率は2/6

だから求める確率は

2/5×2/6=2/15

これは大丈夫やな。


(ii)


さあて、期待値を求めるか。

まず1点になるのは赤は出た目の2倍で白はそのままやったから白の目が1の時でその確率は白い目を取り出すのは3/5やから

3/5×1/6=1/10

2点になるのは白の目が2の時と赤の目が1の時だから

2/5×1/6+3/5×1/6=5/30=1/6

3点になるのは白の目が3の時で

3/5×1/6=1/10

…

って12点までやるころには



こういう何らかのパイプの中に入ることになります。


どういう意味やねん！


まあちょっと根気あれば出来るけど、(iv)みたいにさいころが2個になってくるとこのやり方ではめちゃめちゃ大変やねんな。

そこで今日覚えて欲しいのが



得点ごとに確率を出すのではなく、根元事象で期待値を求める！

です。

根元事象とはそれ以上細かく分けられない事象のことやったな。





実際にやってみるとこの問題では、kを1から6までの自然数として

赤のさいころを取り出してkの目が出る事象

白のさいころを取り出してkの目が出る事象

が根元事象で確率と得点は

赤のさいころを取り出してkの目が出る事象は

確率…2/5×1/6
得点…2k

白のさいころを取り出してkの目が出る事象は

確率…3/5×1/6
得点…k

と簡単にわかって期待値も

Σ(k=1～6)2/5×1/6×2k+Σ(k=1～6)3/5×1/6×k
=7/(5・6)・Σ(k=1～6)k
=7/(5・6)・(6・7)/2
=49/10

と簡単なΣ計算で出てきます。


こうやって根元事象ごとに確率と得点を計算して期待値を求めると、かなり簡単になる場合があるのでこれを一つの選択肢に入れておいてください。


(iii)


確率やから赤いさいころ2個とか白いさいころ3個は別々のさいころと考えなあかんかって
さいころを2個取り出す方法は5C2通り
2個とも赤である方法は2C2通り

よってp=2C2/5C2=1/10


さいころを2個取り出す方法は5C2通り
1個か赤、1個か白の取り出し方は2C1・3C1通り

よってq=2C1・3C1/5C2=3/5


さいころを2個取り出す方法は5C2通り
2個とも白の取り出し方は3C2通り

よってr=3C2/5C2=3/10

(iv)この期待値の計算を普通にやれば、かなりややこしいけど根元事象で計算すればただのΣ計算になります。

赤いさいころが2個で出て、kの目とlの目が出たとき

確率はp×1/36、得点は2k+2l


赤いさいころと白いさいころが1個ずつ、赤のkの目と、白のlの目が出たとき

確率はq×1/36、得点は2k+l


白いさいころが2個ずつ、kの目とlの目が出たとき

確率はr×1/36、得点はk+l

よって期待値は

Σ(k=1～6)Σ(l=1～6){p×1/36・(2k+2l)+q×1/36・(2k+l)+r×1/36・(k+l)}
=1/(10・36)・Σ(k=1～6)Σ(l=1～6)(17k+11l)
=1/(10・36)・Σ(k=1～6)(16・6k+11・1/2・6・7)
=1/(10・36)・(17・6・1/2・6・7+11・1/2・6・7・6)
=49/5


でもこれはさいころ1個当たりの期待値が(ii)から49/10やったから2個では49/10+49/10=49/5って計算せんでもすぐにわかるねんけどな。

高校数学の公式や問題の解説

今回は、必要条件で条件を絞ったら、甘い空間がひろがる話をしたいと思います。


まずこんな問題があったとします。


f(x)=x^2-2ax+2a+2
g(x)=x^2-(2a-3)x-6aとする。
どんなxに対しても「f(x)＞0またはg(x)＞0」が成り立つようなaの値の範囲を求めよ。




それで解いてこうとするとまず



g(x)=(x-2a)(x+3)
と因数分解出来るから
g(x)≦0になる範囲でf(x)＞0を示したら良さそうと言う見通しを立てて、結局は二次関数f(x)の解の配置問題になってきて、使いそうな値を調べておくと

f(x)=(x-a)^2-a^2+a+2
軸:x=a
f(2a)=2a+2
f(-3)=8a+11
f(x)=0の判別式をDとすると
D/4=a^2-2a-2

ってなります。

それで2aと-3は大小関係がわからんから、まずこれで場合わけしてそれで、その範囲でf(x)＞0になるように軸の位置で場合わけしたらええってことになりそうですね。

ここまでよくある流れやな。
さあて場合わけするか。



(i)2a＜-3⇔a＜-3/2の時
g(x)＞0⇔x＜3a,-3＜x
で
2a≦x≦-3でf(x)＞0になればよいから

軸:x=a＜2aで、f(2a)＞0
または
軸:2a≦a≦-3で,D＜0
…

(ii)2a＞-3⇔a＞-1の時

…

ってやると二時間後



公園で太陽の子になって静止してることになります。
自分では太陽を抱きかかえてるつもりやねんけど、周りから見たらちょっと近づいたらあかんよ系になってる状態です。

こんなことなったらもう手遅れです。


そんなことならんようにするには、よくあるのが

「必要条件によって条件を絞る」

ことやねん。

「必要条件によって条件を絞る」

もっかい言うとこか？

「必要条件によって条件を絞る」


それでどうするかと言うと、

ある範囲で成り立つ

とこれば

その範囲のある点でも成りたつ

のが必要やからそれを調べてみるねん。


これで求まる条件はあくまで必要条件で、答えではないけどこれは満たさなければなりません。


今回の場合、すべての実数xでf(x)＞0,g(x)＞0が成り立つようなaを求めなあかんねんけど、x=2aとx=-3でも成り立つはずやん。

なんでx=2aとx=-3を選んだかと言うとg(2a)=g(-3)=0やから、f(2a)＞0,f(-3)＞0にならなあかんからやねんな。

だからx=2aとx=-3でf(x)＞0が必要なわけやな。

これによって出てくる条件は答ではないねんけど、

その条件は満たさなければならないねん。


f(2a)＞0かつf(-a)＞0
⇔
2a+2＞0かつ8a+11＞0
⇔
a＞-1かつa＞-8/11
⇔
a＞-1

でa＞-1が必要です。

a＞-1が別に答えではないねんけど、a＞-1まで条件を絞ることが出来たら

-3＜-2＜2a

だから-3と2aの大小関係もわかるわけや。


これで大幅に場合分けが減るねんな。


と言うことは後は軸x=aが-3≦x≦2aに入るか、右にあるか左にあるかで場合わけしたらよくて

-3≦a≦2aの時つまり0≦aのときと

2a≦aの時つまり-1＜a≦0のときを調べたらええねん。

a≦-3はありえへんからふたつだけですわ。



だから解答は





こうなります。

後は写真見といてください。


こうやって、必要条件で条件を絞ったり、または出てきた条件が十分条件であると示したりするような流れの解答が有効なことがものすごく多くて入試問題でも出まくります。

一見、意図がわからないことが多いねんけど、これは必要条件で条件を絞ってるなってわかってこれたらなあって思います。

そしたら必要条件で条件を絞ってたり、出てきた必要条件が十分条件になってるとか言うような流れを使った問題の解答を適当に紹介しとこか。

整数問題、東京大学2006年度理系前期第四問の解説

行列の問題、慶應大学2009年度理工学部B1の解説

一次変換の問題、大阪大学2009年度理系第2問の解説

三角関数の図形問題、京都大学2009年度理系甲第2問の解説

整数問題と不等式の問題、一橋大学2008年度前期数学の第1問の解説

整数問題と極限値の応用問題、東京工業大学2008年度前期第2問の解説

二次不等式の問題

高校数学の公式や問題の解説